THEOREME ENERGIE Patrice PORTEMANN January 2026 1 Introduction 2 Th´eor`eme d’´energie pour l’´Equation Maˆıtresse No´etique On consid`ere l’´Equation Maˆıtresse No´etique dans un domaine Ω⊂R3 : Dv Dt = vt + (v · ∇)v = −∇Pc + v × T + η(Sent) ∆v, (1) o`u v = v(x, t) est le champ de vitesse du K¨oilon, Pc la pression du vide, T la torsion g´eom´etrique, et η(Sent) ≥0 la viscosit´e entropique. 2.1 ´Energie cin´etique no´etique On d´efinit l’´energie cin´etique no´etique par : E(t) = 1 2 Z Ω v(x, t)2 dx. (2) 2.2 Hypoth`eses On suppose que : [label=(H2)] 1. R´egularit´e : v, ∇v, ∆v sont suffisamment r´eguliers pour justifier les int´egrations par parties, et v ∈H1(Ω)3. 2. Conditions aux bords : soit • conditions p´eriodiques, ou • v = 0 sur ∂Ω(bord fixe), de sorte que les termes de bord provenant des int´egrations par parties s’annulent. 1 3. Incompressibilit´e effective : ∇· v = 0, (3) au moins en bonne approximation (r´egime de fluide quasi-incompressible). 4. Orthogonalit´e torsionnelle : v · (v × T) = 0 (identit´evectorielleclassique). (4) 5. Viscosit´e entropique positive : η(Sent(x, t)) ≥0 pourtoutx, t. […]